Johannes v. Schönfeld, LK M2, AA 12/2
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12.3.1999
Referat 2

Ausgangsfunktion: f:x -> ln (|x|+a)

  1. Bestimmung der Definitionsmenge

IDf =IR für alle a > 0
IDf =IR \{0} für alle a = 0
IDf =IR\ ]-a;a[ für alle a < 0

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  1. Untersuchung der Symmetrieeigenschaften
?
f(x) = - f(x) Nicht erfüllt, da ln nie negativ werden kann
?
f(x) = f(-x) Erfüllt: Der Betrag formt aus ln (|-x|+a) wieder die Ausgangsgleichung

è Graph ist punktsymmetrisch zur y-Achse

  1. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

f(x)=0 ó 0 = ln (|x| + a)
ð (|x|+a) = 1
è Fallunterscheidung
1.Fall: x ≥ 0 è a < x 2.Fall: x < 0 è a ≥ x
1 – a = x a – 1 = x
  1. Verhalten an den Rändern des Def.-Bereiches

a > 0
a = 0

a < 0
lim ln(|x|+a) = lim ln(|x|+a)
x→∞ x→-∞
= ∞
lim ln(|x|) = lim ln(|x|) = ∞
x→∞ x→-∞
lim ln(|x|) = lim ln(|x|) = -∞
x→0 x→0
lim ln(|x|+a) = lim ln(|x|+a)
x→a x→-a
= ln 2a



5. Bestimmung von f ‘a(x) und des Monotonieverhaltens:
f ‘a(x)= 1 für x < 0
x-a

f ’a(x)= 1 für x > 0
x+a

è Monotonieverhalten: für x > 0 SMS
für x < 0 SMF
→ für a > 0 bei x = 0 Wendepunkt

6. Gibt es in der Schar Funktionen, die an der Stelle x = 0 diff.-bar sind?
Überprüfung: für a ≤ 0 nicht möglich, da x=0 nicht im Def.-bereich
→ Wäre nur für a > 0 möglich.
Ableiten bedeutet eine Tangente für den Graphen zu bestimmen, d.h. die Steigung des Graphen an dieser Stelle angeben zu können. Da laut 7. bei x=0 ein Tiefpunkt vorliegt wäre die einzige Möglichkeit, eine waagrechte Tangente zu finden. Doch da bei solcher die Ableitung gleich null sein müßte und diese aber immer > oder < 0 ist existiert für diesen Punkt keine Tangente und folglich auch keine Ableitung.

7. Extrema-ermittlung:
f ’a(x)=0
→f ’a(x) kann nie null werden; Folglich befindet sich in der Schar kein Punkt mit einer waagrechten Tangente. Nach dem Monotonieverhalten zu urteilen muß sich aber bei x=0 ein Tiefpunkt befinden.
Da der rechts- u. linksseitige Grenzwert dieselben sind muß sich (auch laut Zeichnung) an dieser Stelle ein Knick und zugleich ein Tiefpunkt der Funktion mit den Koordinaten (0; ln a) befinden.

8. Der Graph für a=1
Zusammenstellung: Graph punktsymmetrisch; für x→ +-∞ ⇒∞ ; Achsenschnittpunkt bei (0;0), zugleich Wendepunkt u. Extremum
Funktionswerte:
f(-2) ≈ 1,09 f(-1) ≈ 0,69 f(1) ≈ 1,09 f(2) ≈ 0,69



























Ab nun wird die Schar der Integralfunktionen Ia:x→ 1x∫fa(t)dt betrachtet.

9. Für welche Werte von a existieren diese Integralfunktionen?

Für alle a > -1

Begründung: für a ≤ -1 kann ab der Stelle x=1, ab welcher integriert werden soll, nicht mehr integriert werden, da der Graph für immer kleinere a sich immer weiter von der y-Achse entfernt.

10. Bestimme für diese Werte jeweils IDIa !
für a ε ]-1;0] è ID = [|a|;∞[ oder [-a;∞[
für a > 0 è ID = IR

11.Gib IDI1 an!
IDI1 = IR (Begründung steht in 10.)

12. Welchen Wert hat I1‘(0)?
ln (0+1) = 0

13.Untersuche I1 auf Monotonie!
Da das Integral von 1 bis x geht, ist die Integralfunktion in diesem Intervall streng monoton steigend. Dies geht aus dem Graphen der Integralfunktion hervor.

14. Welches Verhalten zeigt der Graph von I1 an der Stelle x = 0?
An der Stelle x = 0 besitzt der Graph einen Extrempunkt.

Raum für Notizen: